Vi vil nu introducere en samling af operationer på mængden af matricer. Vi starter med at definere addition og skalarmultiplikation.
For en skalar og matricer
i defineres
Summen af og som
Skalarmultiplikation af med
som
Angiv værdien af følgende sum
Dit svar: Det er en som er med indgange med størrelse x givet ved
Korrekt!Forkert.
Vi bemærker, at addition og skalarmultiplikation er defineret i lighed
med de tilsvarende begreber på ; addition udføres indgangsvis, og
skalarmultiplikation er blot multiplikation på hver indgang. For en
matrix anvender vi notationen om matricen , og
definerer tilsvarende som .
Fremover anvendes til tider også notationen om skalarmultiplikationen .
I lighed med
Bemærkning A.2 fortolkes ethvert tvetydigt udsagn involverende
addition og skalarmultiplikation ved at prioritere
skalarmultiplikation højest og addition lavest.Som pendant til i har vi nulmatricen i
.
[Nulmatricen]
Matricen
hvis indgange alle er lig , kaldes for
nulmatricen (af størrelse ). Såfremt værdierne af
og er underforstået, så anvender vi ofte blot betegnelsen
om .
Som for (jf. Proposition A.7) kan vi nu formulere følgende
regneregler.
Identiteterne følger fra de tilsvarende identiteter i . Vi
illustrerer dette ved at vise, at (1.) er
opfyldt. Lad (resp. ) betegne indgangene i
(resp. ). Indholdet af (1.) er da
for alle og alle . Men
(3.5) er opfyldt pga. den kommutative lov for
addition på .
Den næste operation som vi vil indføre, er matrixmultiplikation. Selvom definitionen
ved første øjekast ikke virker særlig
naturlig, så viser den sig at have en
masse vigtige egenskaber.
[Matrixproduktet]
For matricer og defineres
matrixproduktet som elementet i ,
hvis 'te indgang er lig
for
og .
Angiv værdien af følgende produkt
Dit svar: Det er en som er med indgange med størrelse x givet ved
Korrekt!Forkert.
Bemærk, at den 'te indgang i matrixproduktet alene afhænger af den 'te række i samt den 'te søjle i
. Bemærk også, at kun giver mening,
hvis antallet af søjler i er lig antallet af rækker i . Fremover anvendes til tider også notationen om matrixproduktet .
Lad . Lad yderligere betegne
søjlevektoren
mens betegner rækkevektoren
Så er lig den 'te i , mens
er lig den første i .Korrekt!Forkert.
søjle
række
Som en første indikation på at matrixproduktet er naturligt, så kan vi
observere, at
For en given vektor
er vektoren
dermed en løsning til det lineære ligningssystem
hvis og kun hvis . Denne
observation forklarer samtidig den allerede indførte notation for det lineære ligningssystem (1.2).De ovenfor indførte operationer addition, skalarmultiplikation og
produkt på mængden af matricer udgør det, som vi samlet kalder for
matrixalgebraen. I tvetydige udtryk der
involverer flere af disse operationer, tolkes udtrykket efter
prioriteringsrækkefølgen: matrixprodukt, skalarmultiplikation og
addition.Vi vil nu udvide regnereglerne i Proposition 3.3 til at inkludere
udtryk der indeholder matrixproduktet. Først definerer vi
identitetsmatricen:
[Identitetsmatricen]
Identitetsmatricen af størrelse er den kvadratiske matrix
Hvis er
underforstået, så anvender vi ofte blot som notation for
identitetsmatricen.
Identiteterne
(1.)-(5.) er oplagte
konsekvenser af regnereglerne for og definitionerne af de
involverede
operationer. Egenskab (6.) er en
smule mere omstændig, og den viser vi derfor her. Vi bemærker, at
begge sider af (6.) er elementer i
. Den 'te indgang af venstresiden beregnes
til
hvor vi undervejs har anvendt den distributive lov i (faktisk
har vi implicit også anvendt den kommutative og associative lov for
addition på ). Tilsvarende beregnes den 'te indgang af
højresiden til
At (6.) dermed er opfyldt, følger nu af
identiteten
indenfor (her anvendes den associative lov for produktet i
, samt den kommutative og associative lov for addition).
Bemærk, at der ikke er angivet en kommutativ regel for
matrixmultiplikation. Forklaringen er, at
matrixproduktet ikke er
kommutativt, hvilket er illustreret i
det følgende eksempel.
Betragt matricerne
i . Så er
mens
Specielt gælder der, at .
3.1 Transponering
Operationen der ombytter rækker og søjler i en matrix kaldes for
transponering. Den præcise definition er:
[Transponering]
Lad . Den tilsvarende transponerede
matrix betegnes , og defineres som elementet i ,
hvis 'te indgang er lig den 'te indgang i , for
alle og . Med den sædvanlige
matrixnotation så gælder der dermed, at
En kvadratisk matrix siges at være symmetrisk,
såfremt .
Angiv den transponerede til matricen
Dit svar: Det er en som er med indgange med størrelse x givet ved
Korrekt!Forkert.
Betragt den reelle matrix
Så er
Vi vil senere se, at transponeringsoperationen er central i forskellige
sammenhænge (f.eks. ifm. mindste kvadraters metode og
Spektralsætningen). I den forbindelse er det nyttigt at observere
følgende sammenhænge mellem operationerne i matrixalgebraen og
transponering.
Vi nøjes med at koncentrere os om beviset for
(4.), og overlader de resterende argumenter til
læseren. Vi starter med at bemærke, at begge sider af identiteten
(4.) er elementer i . Den
'te indgang af venstresiden er lig den 'te indgang af
; dvs. lig
Den
'te indgang af højresiden er derimod lig
og det er dermed oplagt, at
(4.) er opfyldt.
3.2 Løsninger af lineære ligningssystemer
Vi vil nu anvende matrixalgebraen til at beskrive en struktur på
løsningsmængden til et lineært ligningssystem
for og .
Lad betegne en løsning til det lineære ligningssystem . Løsningsmængden til
består da af alle elementer på formen
hvor betegner en løsning til det homogene lineære
ligningssystem
Med notation som ovenfor, så observeres det først, at
og dermed er ethvert element på
formen (3.8) en løsning til .Omvendt vil en løsning til opfylde, at
og dermed er en
løsning til det homogene lineære ligningssystem . Dvs , og har derfor den ønskede
form.
I Eksempel 1.13 fandt vi, at løsningsmængden
til
består af elementerne på formen
hvor og angiver (reelle)
skalarer. Elementer på formen
udgør netop løsningerne til den homogene version
af (3.10), mens
er en løsning til (3.10), og
løsningsmængden (3.11) har dermed formen
beskrevet i Proposition 3.12. Tilsvarende
overvejelse gør sig gældende ifm. Eksempel 1.17.
Vi vil senere se, at løsningsmængder til homogene lineære
ligningssystemer er specielt pæne (de udgør hvad vi senere vil
definere som et vektorrum), og ovenstående karakterisering af
løsningsmængden til (3.7) er dermed
fornuftig. Bemærk, at Proposition 3.12 implicerer, at antallet
af løsninger til (3.7) og (3.9)
er identiske, såfremt (3.7) har mindst én løsning.