3 Matrixalgebraen

Vi vil nu introducere en samling af operationer på mængden af matricer. Vi starter med at definere addition og skalarmultiplikation.

For en skalar $\alpha \in \mathbb{F}$ og matricer

$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \quad B = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn} \end{pmatrix} \tag{3.1}$ i $\mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{F})$ defineres

Summen af $A$ og $B$ som
$A+B = \begin{pmatrix} a_{11} + b_{ 11}& a_{12} + b_{12} & \cdots & a_{1n} + b_{1n}\\ a_{21} + b_{21} & a_{22}+ b_{22} & \cdots & a_{2n} + b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} + b_{m1} & a_{m2} + b_{m2} & \cdots & a_{mn} + b_{mn} \end{pmatrix} \in \mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{F}). \tag{3.2}$
Skalarmultiplikation af $A$ med $\alpha$ som
$\alpha \cdot A = \begin{pmatrix} \alpha \cdot a_{11} & \alpha \cdot a_{12} & \cdots & \alpha \cdot a_{1n} \\ \alpha \cdot a_{21} & \alpha \cdot a_{22} & \cdots & \alpha \cdot a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \alpha \cdot a_{m1} & \alpha \cdot a_{m2} & \cdots & \alpha \cdot a_{mn} \end{pmatrix} \in \mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{F}). \tag{3.3}$

Angiv værdien af følgende sum

$\begin{pmatrix} 2 & 4 & 5 \\ 7 & 1 & 7 \\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 & 3 & 1 \\ 4 & 4 & 4 \\ 5 & 9 & 1 \end{pmatrix}$

Dit svar: Det er en

Vi bemærker, at addition og skalarmultiplikation er defineret i lighed med de tilsvarende begreber på $\mathbb{F}^n$ ; addition udføres indgangsvis, og skalarmultiplikation er blot multiplikation på hver indgang. For en matrix $A$ anvender vi notationen $-A$ om matricen $(-1) \cdot A$ , og definerer tilsvarende $B-A$ som $B+((-1) \cdot A)$ . Fremover anvendes til tider også notationen $\alpha A$ om skalarmultiplikationen $\alpha \cdot A$ . I lighed med Bemærkning A.2 fortolkes ethvert tvetydigt udsagn involverende addition og skalarmultiplikation ved at prioritere skalarmultiplikation højest og addition lavest.

Som pendant til $\bm{0}$ i $\mathbb{F}^n$ har vi nulmatricen i $\mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{F})$ .

[Nulmatricen] Matricen

$\bm{O}_{m,n} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix} \in \mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{F}), \tag{3.4}$ hvis indgange alle er lig $0$ , kaldes for nulmatricen (af størrelse $m \times n$ ). Såfremt værdierne af $m$ og $n$ er underforstået, så anvender vi ofte blot betegnelsen $\bm{O}$ om $\bm{O}_{m,n}$ .

Som for $\mathbb{F}^n$ (jf. Proposition A.7) kan vi nu formulere følgende regneregler.

For $A, B , C \in \mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{F})$ og $\alpha, \beta \in \mathbb{F}$ gælder der følgende identiteter:

$A+ B = B+A$ .
$(A+ B)+ C = A+(B+C)$ .
$A + \bm{O}_{m,n} = A$ .
$A + (-A) = \bm{O}_{m,n}$ .
$\alpha \cdot (A+B) = \alpha \cdot A + \alpha \cdot B$ .
$(\alpha + \beta) \cdot A = \alpha \cdot A + \beta \cdot A$ .
$\alpha \cdot (\beta \cdot A) = (\alpha \beta) \cdot A$ .
$1 \cdot A = A$ .

Bevis

Identiteterne følger fra de tilsvarende identiteter i $\mathbb{F}$ . Vi illustrerer dette ved at vise, at (1.) er opfyldt. Lad $a_{ij}$ (resp. $b_{ij}$ ) betegne indgangene i $A$ (resp. $B$ ). Indholdet af (1.) er da

$a_{ij} + b_{ij} = b_{ij} + a_{ij}, \tag{3.5}$ for alle $i=1,\ldots,m$ og alle $j=1,\ldots,n$ . Men (3.5) er opfyldt pga. den kommutative lov for addition på $\mathbb{F}$ .

Den næste operation som vi vil indføre, er matrixmultiplikation. Selvom definitionen ved første øjekast ikke virker særlig naturlig, så viser den sig at have en masse vigtige egenskaber.

[Matrixproduktet] For matricer $A = (a_{ij}) \in \mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{F})$ og $B=(b_{jk}) \in \mathrm{Mat}_{n,l}(\mathbb{F})$ defineres matrixproduktet $A \cdot B$ som elementet i $\mathrm{Mat}_{m,l}(\mathbb{F})$ , hvis $(i,k)$ 'te indgang er lig

$\sum_{j=1}^n a_{ij} b_{jk} = a_{i1} b_{1k} + a_{i2} b_{2k} + \cdots + a_{in} b_{nk},$ for $i=1,\ldots,m$ og $k=1,\ldots,l$ .

Angiv værdien af følgende produkt

$\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 7 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 4 & 4 & 4 \\ \end{pmatrix}$

Dit svar: Det er en

Bemærk, at den $(i,k)$ 'te indgang i matrixproduktet $A \cdot B$ alene afhænger af den $i$ 'te række i $A$ samt den $k$ 'te søjle i $B$ . Bemærk også, at $A \cdot B$ kun giver mening, hvis antallet af søjler i $A$ er lig antallet af rækker i $B$ . Fremover anvendes til tider også notationen $A B$ om matrixproduktet $A \cdot B$ .

Quiz

Lad $A \in \mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{F})$ . Lad yderligere $\bm{e}_1$ betegne søjlevektoren

$\bm{e}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} \in \mathbb{F}^n,$ mens $\check \bm{e}_m$ betegner rækkevektoren

$\check \bm{e}_m = (0,0,\ldots,0,1) \in \check \mathbb{F}^m.$ Så er

lig den $m$ 'te

i $A$ , mens

er lig den første

i $A$ .

$A \cdot \bm{e}_1$

$\check \bm{e}_m \cdot A$

søjle

række

Som en første indikation på at matrixproduktet er naturligt, så kan vi observere, at

$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_n \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} \alpha_1 + a_{12} \alpha_2 + \cdots + a_{1n} \alpha_n \\ a_{21} \alpha_1 + a_{22} \alpha_2 + \cdots + a_{2n} \alpha_n \\ \vdots \\ a_{m1} \alpha_1 + a_{m2} \alpha_2 + \cdots + a_{mn} \alpha_n \end{pmatrix}.$ For en given vektor $\bm{b} \in \mathbb{F}^n$ er vektoren

${\bm{v}} = \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_n \\ \end{pmatrix} \in \mathbb{F}^n \tag{3.6}$ dermed en løsning til det lineære ligningssystem $A \cdot \bm{x} = \bm{b}$ hvis og kun hvis $A \cdot {\bm{v}} = \bm{b}$ . Denne observation forklarer samtidig den allerede indførte notation $A \cdot \bm{x} = \bm{b}$ for det lineære ligningssystem (1.2).

De ovenfor indførte operationer addition, skalarmultiplikation og produkt på mængden af matricer udgør det, som vi samlet kalder for matrixalgebraen. I tvetydige udtryk der involverer flere af disse operationer, tolkes udtrykket efter prioriteringsrækkefølgen: matrixprodukt, skalarmultiplikation og addition.

Vi vil nu udvide regnereglerne i Proposition 3.3 til at inkludere udtryk der indeholder matrixproduktet. Først definerer vi identitetsmatricen:

[Identitetsmatricen] Identitetsmatricen af størrelse $n$ er den kvadratiske matrix

$\mathrm{I}_n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix} \in \mathrm{Mat}_{n}(\mathbb{F}).$ Hvis $n$ er underforstået, så anvender vi ofte blot $\mathrm{I}$ som notation for identitetsmatricen.

Vi har da:

For $A, \widetilde A \in \mathrm{Mat}_{k,l}(\mathbb{F})$ , $B, \widetilde B \in \mathrm{Mat}_{l,m}(\mathbb{F})$ , $C \in \mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{F})$ og $\alpha \in \mathbb{F}$ gælder der følgende identiteter:

$A \cdot \mathrm{I}_{l} = A$ .
$\mathrm{I}_ {k} \cdot A = A$ .
$(\alpha \cdot A) \cdot B = \alpha \cdot (A \cdot B) = A \cdot (\alpha \cdot B)$ .
$A \cdot (B + \widetilde B) = A \cdot B + A \cdot \widetilde B$ .
$(A+\widetilde A) \cdot B = A \cdot B + \widetilde A \cdot B$ .
$A \cdot (B \cdot C) = (A \cdot B) \cdot C$ .

Bevis

Identiteterne (1.)-(5.) er oplagte konsekvenser af regnereglerne for $\mathbb{F}$ og definitionerne af de involverede operationer. Egenskab (6.) er en smule mere omstændig, og den viser vi derfor her. Vi bemærker, at begge sider af (6.) er elementer i $\mathrm{Mat}_{k,n}(\mathbb{F})$ . Den $(i,j)$ 'te indgang af venstresiden beregnes til

$\begin{aligned} \sum_{s=1}^l A_{is} (B \cdot C)_{sj} & = \sum_{s=1}^l A_{is} \Bigl(\sum_{t=1}^m B_{st} C_{tj} \Bigr) \\ & = \sum_{s=1}^l \sum_{t=1}^m A_{is} (B_{st} C_{tj}), \end{aligned}$ hvor vi undervejs har anvendt den distributive lov i $\mathbb{F}$ (faktisk har vi implicit også anvendt den kommutative og associative lov for addition på $\mathbb{F}$ ). Tilsvarende beregnes den $(i,j)$ 'te indgang af højresiden til

$\begin{aligned} \sum_{t=1}^m (A \cdot B)_{it} C_{tj} & = \sum_{t=1}^m \Bigl(\sum_{s=1}^l A_{is} B_{st}\Bigr) C_{tj} \\ & = \sum_{t=1}^m \sum_{s=1}^l \bigl(A_{is} B_{st}\bigr) C_{tj}. \end{aligned}$ At (6.) dermed er opfyldt, følger nu af identiteten

$\sum_{s=1}^l \sum_{t=1}^m A_{is} \bigl(B_{st} C_{tj}\bigr) = \sum_{t=1}^m \sum_{s=1}^l \bigl(A_{is} B_{st}\bigr) C_{tj},$ indenfor $\mathbb{F}$ (her anvendes den associative lov for produktet i $\mathbb{F}$ , samt den kommutative og associative lov for addition).

Bemærk, at der ikke er angivet en kommutativ regel for matrixmultiplikation. Forklaringen er, at matrixproduktet ikke er kommutativt, hvilket er illustreret i det følgende eksempel.

Betragt matricerne

$A= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},$ i $\mathrm{Mat}_{2}(\mathbb{F})$ . Så er

$\begin{aligned} A \cdot B &= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \end{aligned}$ mens

$\begin{aligned} B \cdot A &= \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}. \end{aligned}$ Specielt gælder der, at $A \cdot B \neq B \cdot A$ .

3.1 Transponering

Operationen der ombytter rækker og søjler i en matrix kaldes for transponering. Den præcise definition er:

[Transponering] Lad $A \in \mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{F})$ . Den tilsvarende transponerede matrix betegnes $A^T$ , og defineres som elementet i $\mathrm{Mat}_{n,m}(\mathbb{F})$ , hvis $(i,j)$ 'te indgang er lig den $(j,i)$ 'te indgang i $A$ , for alle $i=1,2,\ldots, n$ og $j=1,2,\ldots,m$ . Med den sædvanlige matrixnotation så gælder der dermed, at

$(A^T)_{ij} = A_{ji}.$ En kvadratisk matrix siges at være symmetrisk, såfremt $A=A^T$ .

Angiv den transponerede til matricen

$\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 7 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$

Dit svar: Det er en

Betragt den reelle matrix

$\begin{aligned} A&= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}. \end{aligned}$ Så er

$\begin{aligned} A^T& = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}. \end{aligned}$

Vi vil senere se, at transponeringsoperationen er central i forskellige sammenhænge (f.eks. ifm. mindste kvadraters metode og Spektralsætningen). I den forbindelse er det nyttigt at observere følgende sammenhænge mellem operationerne i matrixalgebraen og transponering.

Lad $A,B \in \mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{F})$ , $C \in \mathrm{Mat}_{l,m}(\mathbb{F})$ og $\alpha \in \mathbb{F}$ . Så er:

$(A^T)^T=A$ .
$(\alpha A)^T = \alpha A^T$ .
$(A+B)^T= A^T + B^T$ .
$(C\cdot A)^T = A^T \cdot C^T$ .

Bevis

Vi nøjes med at koncentrere os om beviset for (4.), og overlader de resterende argumenter til læseren. Vi starter med at bemærke, at begge sider af identiteten (4.) er elementer i $\mathrm{Mat}_{n,l}(\mathbb{F})$ . Den $(i,j)$ 'te indgang af venstresiden er lig den $(j,i)$ 'te indgang af $C \cdot A$ ; dvs. lig

$\sum_{k=1}^m C_{j k} A_{k i}.$ Den $(i,j)$ 'te indgang af højresiden er derimod lig

$\sum_{k=1}^m (A^T)_{ik} (C^T)_{kj}= \sum_{k=1}^m A_{ki} C_{jk},$ og det er dermed oplagt, at (4.) er opfyldt.

3.2 Løsninger af lineære ligningssystemer

Vi vil nu anvende matrixalgebraen til at beskrive en struktur på løsningsmængden til et lineært ligningssystem

$A \cdot \bm{x} = \bm{b}, \tag{3.7}$ for $A \in \mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{F})$ og $\bm{b} \in \mathbb{F}^m$ .

Lad $\bm{z}_0 \in \mathbb{F}^n$ betegne en løsning til det lineære ligningssystem $A \cdot \bm{x} = \bm{b}$ . Løsningsmængden til $A \cdot \bm{x} = \bm{b}$ består da af alle elementer på formen

$\bm{z} + \bm{z}_0 \in \mathbb{F}^n, \tag{3.8}$ hvor $\bm{z}$ betegner en løsning til det homogene lineære ligningssystem

$A \cdot \bm{x} = \bm{0}. \tag{3.9}$

Bevis

Med notation som ovenfor, så observeres det først, at

$A \cdot (\bm{z}+\bm{z}_0) = A \cdot \bm{z}+A \cdot \bm{z}_0 = \bm{0} + \bm{b} = \bm{b},$ og dermed er ethvert element på formen (3.8) en løsning til $A \cdot \bm{x} = \bm{b}$ .

Omvendt vil en løsning $\bm{z}'$ til $A \cdot \bm{x} = \bm{b}$ opfylde, at

$A \cdot (\bm{z}' - \bm{z}_0) = A \cdot \bm{z}' - A \cdot \bm{z}_0 = \bm{b} - \bm{b} = \bm{0},$ og dermed er $\bm{z} = \bm{z}'-\bm{z}_0$ en løsning til det homogene lineære ligningssystem $A \cdot \bm{x} =\bm{0}$ . Dvs $\bm{z}' =\bm{z} + \bm{z}_0$ , og $\bm{z}'$ har derfor den ønskede form.

I Eksempel 1.13 fandt vi, at løsningsmængden til

$\begin{alignedat}{3} l_1 & \colon 1 x_1 + 2 x_2 + & & 3 x_3 + 4 x_4 && = 4, \\ l_2 & \colon & & 2 x_3 + 4 x_4 && = 2, \end{alignedat} \tag{3.10}$ består af elementerne på formen

${\footnotesize \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1\\ 0 \end{pmatrix}} + \alpha_2 {\footnotesize \begin{pmatrix} - 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}} + \alpha_4 {\footnotesize \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}}, \tag{3.11}$ hvor $\alpha_2$ og $\alpha_4$ angiver (reelle) skalarer. Elementer på formen

$\alpha_2 {\footnotesize \begin{pmatrix} - 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}} + \alpha_4 {\footnotesize \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}}, \tag{3.12}$ udgør netop løsningerne til den homogene version af (3.10), mens

$\footnotesize \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1\\ 0 \end{pmatrix} \tag{3.13}$ er en løsning til (3.10), og løsningsmængden (3.11) har dermed formen beskrevet i Proposition 3.12. Tilsvarende overvejelse gør sig gældende ifm. Eksempel 1.17.

Vi vil senere se, at løsningsmængder til homogene lineære ligningssystemer er specielt pæne (de udgør hvad vi senere vil definere som et vektorrum), og ovenstående karakterisering af løsningsmængden til (3.7) er dermed fornuftig. Bemærk, at Proposition 3.12 implicerer, at antallet af løsninger til (3.7) og (3.9) er identiske, såfremt (3.7) har mindst én løsning.